Formulación variacional de la estimación del movimiento en fluidos incompresibles a partir de secuencias PIV

Luis Alvarez

Mayo 2009

Introducción

Formulación variacional de la estimación del movimiento en fluidos incompresibles

PIV ("Particle Image Velocimetry") es una técnica que permite capturar imágenes de un conjunto de partículas que se mueven dentro de un fluido. Una aplicación habitual de esta técnica es el análisis en laboratorio del comportamiento aerodinámico de un objeto. Para cada instante de tiempo se adquiere un volumen 3D de datos donde se encuentran las partículas. El objetivo de esta presentación es analizar el problema de estimar el movimiento que se produce en el volumen 3D de datos entre 2 instantes consecutivos. En particular se presentará un modelo basado en una formulación variacional del problema adaptada al caso de fluidos incompresibles (es decir $div(\QTR{bf}{u})=0$), así como diversos experimentos realizados en secuencias PIV reales y sintéticas.

PIV Particle Image Velocimetry. Diseño de Experimentos

Imagen cortesía de LaVision GmbH


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PIV Particle Image Velocimetry. Sistema de adquisición.

Imagen cortesía de LaVision GmbH


piv_setup_2.png

PIV Particle Image Velocimetry.

Volúmenes 3D adquiridos por LaVision GmbH


piv_lavision-vol-test4.png

Métodos basados en la correlación a ventanas de estimación del flujo

Estimación del movimiento entre 2 volumenes 3D consecutivos

El método Standard : La correlación a ventanas

Se consideran 2 volumenes $3D$ dados por MATH. Dado un punto $\bar{x}\in $ $\Omega $ se considera un cubo MATH centrado en $\bar{x}$ de lado $l. $ Denotamos por $\bar{u}(\bar{x})$ el desplazamiento del punto $\bar{x}$ al pasar de $I_{1}$ a $I_{2}.$ El método de correlación a ventanas estima el valor de $\bar{u}(\bar{x})$ maximizando el funcional de correlación :

Funcional del método de correlación a ventanas MATH

Este método es local (independiente para cada punto $\bar{x}$) y supone $\bar{u}(\bar{x})$ es constante en MATH

Estimación del movimiento entre 2 volumenes 3D consecutivos

El método standard : la correlación a ventanas

El procedimiento standard para estimar el flujo de particulas entre 2 volúmenes 3D es elegir un tamaño de lado $l$ para el cubo MATH, elegir un conjunto de puntos $\bar{x}_{i}$ en $\Omega $ de tal forma que MATH. A continuación se elige para cada $\bar{x}_{i}$ una estimación inicial del flujo MATH (habitualmente $0$) y a continuación se refina por iteraciones : MATH donde $\delta _{n}^{i}$ es el máximo de MATHsuponiendo que MATH es periódica. Una vez obtenidos MATH se calcula $\bar{u}(\bar{x})$ en cualquier otro punto por interpolación

Métodos variacionales de estimación del flujo

Estimación del movimiento entre 2 volumenes 3D consecutivos

Método variacional básico

Modelo variacional básico MATH

Ecuaciones de Euler-Lagrange MATH

donde MATH

Ecuación parabólica asociada

Ecuación parabólica asociada MATH

donde

\frametitle{ Existencia de soluciones de la ecuación parabólica asociada }

Teorema: existencia de soluciones de la ecuación parabólica Si $S(t)\bar{u}_{0}$ es la solución del problema homogéneo

MATH

y $F(\hat{u})$ es Lipschitz entonces la solución de la ecuación completa satisface MATHque es una ecuación de punto fijo que tiene una solución única.

\frametitle{ Condición de Lipschitz }

Lema: Condición Lipschitz de $F(\hat{u})$ Si MATH y MATH entonces la función MATHes Lipschitz respecto a $\hat{u},$ es decir existe $C>0$ tal que MATH

Estimación del flujo en campos solenoidales

Flujos solenoidales y flujos conservativos

Flujos solenoidales (incompresibles) MATH

Flujos conservativos MATH

Descomposición de Helmholtz

Descomposición de Helmholtz de un campo de vectores Sea MATH un campo de vectores $3D$, entonces existen MATH MATH tal que MATHademás $\bar{u}_{s}$ y $\bar{u}_{r}$ son ortogonales en $L^{2}(\Omega ),$ i.e.MATHy MATH donde $p$ es una solución del problema de Poisson : MATH

Minimización de funcionales en $H_{s}.$

nos planteamos el problema de minimizar el funcional MATHcon la restricción de que $\bar{u}\in H_{s}$

Teorema: Multiplicadores de Lagrange Generalizados Sea $\bar{u}(\bar{x})$ un mínimo local de $E(\bar{u})$ con la restricción $\bar{u}\in H_{s}$ entonces MATH

Relación con la técnica de multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange (versión standard) Si $\bar{x}$ es un mínimo local de $E(\bar{x})$ con la restricción $F(\bar{x})=0,$ entonces existe $\lambda \in R$ tal queMATH

Ahora bien, el espacio ortogonal a la superficie de nivel $F(\bar{x})=0$ en punto está orientado en la dirección $\nabla F(\bar{x})$ por ello la igualdad anterior clásica sobre los multiplicadores de lagrange puede interpretarse como MATH

Experimentos

Soluciones analíticas en ejemplos simples

Solución ecuación de Stokes para un flujo constante en el infinito que se encuentra una esfera de radio $\alpha $ como obstáculo

MATH

piv_modelosinteticodetalle.png

Imagen de detalle y errores en la estimación

MATH

Experimentos realizados a partir de soluciones numéricas de las ecuaciones deNavier-Stokes.

Volumenes 3D suministrados por el laboratorio Cemagref.


pivsinteticocemagref_1.png

Resultados del cálculo del flujo


piv_flujo_1.png

Representación gráfica del error


pivsinteticocemagref_2.png

Flujo calculado para el experimento real.


piv_lavisionflow-volumenoriginal.png

Conclusiones

Conclusiones

  1. Las secuencias PIV 3D son una fuente muy interesante de información para el estudio de fenónemos aerodinámicos y de validación experimental de modelos.

  2. La principal novedad de esta presentación es el estudio de la incorporación de la incompresibilidad (MATH)a la estimación del flujo entre 2 volúmenes 3D mediante técnicas variacionales

  3. La incorporación a los modelos de estimación del flujo entre 2 volúmenes 3D de leyes de comportamiento más complejas como las ecuaciones de Navier-Stokes es una cuestión de gran interés y complejidad y que probablemente tenga un desarrollo significativo en el futuro por sus numerosas aplicaciones.