Formulación variacional de la estimación del movimiento en fluidos incompresibles a partir de secuencias PIV
Luis Alvarez
Mayo 2009
Formulación variacional de la estimación del movimiento en fluidos incompresibles
PIV ("Particle Image Velocimetry") es una técnica que permite capturar imágenes de un conjunto de partículas que se mueven dentro de un fluido. Una aplicación habitual de esta técnica es el análisis en laboratorio del comportamiento aerodinámico de un objeto. Para cada instante de tiempo se adquiere un volumen 3D de datos donde se encuentran las partículas. El objetivo de esta presentación es analizar el problema de estimar el movimiento que se produce en el volumen 3D de datos entre 2 instantes consecutivos. En particular se presentará un modelo basado en una formulación variacional del problema adaptada al caso de fluidos incompresibles (es decir ), así como diversos experimentos realizados en secuencias PIV reales y sintéticas.
PIV Particle Image Velocimetry. Diseño de Experimentos
Imagen cortesía de LaVision GmbH
PIV Particle Image Velocimetry. Sistema de adquisición.
Imagen cortesía de LaVision GmbH
PIV Particle Image Velocimetry.
Volúmenes 3D adquiridos por LaVision GmbH
Estimación del movimiento entre 2 volumenes 3D consecutivos
El método Standard : La correlación a ventanas
Se consideran 2 volumenes dados por . Dado un punto se considera un cubo centrado en de lado Denotamos por el desplazamiento del punto al pasar de a El método de correlación a ventanas estima el valor de maximizando el funcional de correlación :
Funcional del método de correlación a ventanasEste método es local (independiente para cada punto ) y supone es constante en
Estimación del movimiento entre 2 volumenes 3D consecutivos
El método standard : la correlación a ventanas
El procedimiento standard para estimar el flujo de particulas entre 2 volúmenes 3D es elegir un tamaño de lado para el cubo , elegir un conjunto de puntos en de tal forma que . A continuación se elige para cada una estimación inicial del flujo (habitualmente ) y a continuación se refina por iteraciones : donde es el máximo de suponiendo que es periódica. Una vez obtenidos se calcula en cualquier otro punto por interpolación
Estimación del movimiento entre 2 volumenes 3D consecutivos
Método variacional básico
Modelo variacional básico Ecuaciones de Euler-Lagrangedonde
Ecuación parabólica asociada
Ecuación parabólica asociadadonde
es la solución de la ecuación parabólica
\frametitle{ Existencia de soluciones de la ecuación parabólica asociada }
Teorema: existencia de soluciones de la ecuación parabólica Si es la solución del problema homogéneo\frametitle{ Condición de Lipschitz }
Lema: Condición Lipschitz de Si y entonces la función es Lipschitz respecto a es decir existe tal queFlujos solenoidales y flujos conservativos
Flujos solenoidales (incompresibles) Flujos conservativosDescomposición de Helmholtz
Descomposición de Helmholtz de un campo de vectores Sea un campo de vectores , entonces existen tal que además y son ortogonales en i.e.y donde es una solución del problema de Poisson :Minimización de funcionales en
nos planteamos el problema de minimizar el funcional con la restricción de que
Teorema: Multiplicadores de Lagrange Generalizados Sea un mínimo local de con la restricción entoncesRelación con la técnica de multiplicadores de Lagrange
Multiplicadores de Lagrange (versión standard) Si es un mínimo local de con la restricción entonces existe tal queAhora bien, el espacio ortogonal a la superficie de nivel en punto está orientado en la dirección por ello la igualdad anterior clásica sobre los multiplicadores de lagrange puede interpretarse como
Soluciones analíticas en ejemplos simples
Solución ecuación de Stokes para un flujo constante en el infinito que se encuentra una esfera de radio como obstáculo
Imagen de detalle y errores en la estimación
Experimentos realizados a partir de soluciones numéricas de las ecuaciones deNavier-Stokes.
Volumenes 3D suministrados por el laboratorio Cemagref.
Resultados del cálculo del flujo
Representación gráfica del error
Flujo calculado para el experimento real.
Conclusiones
Las secuencias PIV 3D son una fuente muy interesante de información para el estudio de fenónemos aerodinámicos y de validación experimental de modelos.
La principal novedad de esta presentación es el estudio de la incorporación de la incompresibilidad ()a la estimación del flujo entre 2 volúmenes 3D mediante técnicas variacionales
La incorporación a los modelos de estimación del flujo entre 2 volúmenes 3D de leyes de comportamiento más complejas como las ecuaciones de Navier-Stokes es una cuestión de gran interés y complejidad y que probablemente tenga un desarrollo significativo en el futuro por sus numerosas aplicaciones.