Modélos Matemáticos en Visión por Ordenador
Luis Alvarez
Mayo 2009
Método de Cholesky para factorizar matrices simétricas y definidas positivas
Algoritmo
Para
Para
Fin Para
Fin Para
Utilidades del método de Cholesky
Verificar si una matriz simétrica es definida positiva
Resolver el sistema resolviendo los 2 sistemas triangulares
Calcular el determinante de una matriz simétrica y definida positiva
André-Louis Cholesky
André-Louis Cholesky (1875 - 1918), matemático francés. Estudió en l'École Polytechnique y trabajó en geodesia y cartografía además de desarrollar la descomposición matricial que lleva su nombre. Sirvió en el ejército francés como oficial de ingeniería y murió en una batalla durante la Primera Guerra Mundial, siendo su trabajo publicado póstumamente.
Sistemas con mayor número de ecuaciones que de incógnitas
Sistemas con mayor número de ecuaciones que de incógnitas Estimación por mínimos cuadrados Se minimiza el error :Pseudoinversa de una matriz
La matriz es semidefinida positiva, es decir : por tanto todos sus autovalores son mayores o iguales que cero y para cualquier la matriz es invertible.
Solución generaliza de la ecuación normal Definimos la solución generalizada de la ecuación normal comoRepresentación algebráica de las rotaciones utilizando cuaterniones
El espacio de los cuaterniones con la operación producto Representación de una rotación en base a los cuaterniones Dada una matriz de rotación de eje y ángulo Si llamamosentoncesRepresentación algebráica de las rotaciones utilizando cuaterniones
El espacio de los cuaterniones con la operación producto Representación de una rotación en base a los cuaternionesCálculo de autovalores / autovectores
Método de la potencia (Valoración impacto páginas Web Google) Sea una matriz que posee una base de autovectores tal que en módulo su autovalor máximo es único. Sea un vector no ortogonal al subespacio engendrado por los autovectores del autovalor , entonces, si definimos la secuencia se verifica queMinimización por mínimos cuadrados no-lineales
Método de Newton-Raphson Si entonces el mínimo de se alcanza en donde Combinación de métodos de primer y segundo orden Si ó hacemosSir Isaac Newton
Sir Isaac Newton (1643 - 1727), "el científico universal". Tuvo una infancia difícil, su padre falleció antes de que naciera, su madre quería que fuese granjero, pero el director del Colegio King's School, Henry Stokes, la convenció para que estudiase. En 1661, fue admitido en el Trinity College, Cambridge como becario. No fué un estudiante brillante pues era muy autodidacta. Sufrió crisis psicológicas. Tenía un interés muy profundo por la alquimia y la religión.
Método de Levenberg--Marquardt
Expresión de las derivadas de en función del Jacobiano Dada se tiene que Combinación de métodos de primer y segundo orden Si ó hacemosMétodo de Levenberg--Marquardt
Expresión de las derivadas de en función del Jacobiano Dada se tiene que Método de Levenberg-MarquardtHistoria del método de Levenberg--Marquardt
El método de Levenberg-Marquardt ha tenido una enorme trascendencia práctica en problemas de ajuste de parámetros y es el algoritmo de referencia para optimizar la calibración de cámaras. Fué publicado en primer lugar por Kenneth Levenberg (trabajó en la empresa Frankford Arsenal (diseño y producción de munición de armas)) en 1944 y redescubierto por Donald Marquardt ( estadístico que trabajó en la empresa Dupont (empresa química)) en 1963.
La transformada rápida de Fourier
Transformada de Fourier discreta de Algoritmo de Cooley and Tukey (1965). Lema de Danielson and Lanczos (1942) Es decir la transformada de una señal de tamaño se puede descomponer en 2 transformadas de señales de tamañoJohn Tukey
John Tukey (1915 - 2000), hijo de profesores, científico americano, estudio Químicas en la Universidad de Brown e hizo el doctorado en matemáticas en la Universidad de Princeton, donde trabajó como profesor compartiendo este trabajo con sus actividades en los laboratorios Bell. Es conocido principalmente por sus actividades en el area de estadística y por el algoritmo de FFT. Trabajo para el ejercito durante la segunda guerra mundial
Métodos de diferencias finitas
Ecuaciones Euler-Lagrange Regularización de funciones Discretización por diferencias finitas Si los métodos iterativos standard son convergentesMétodos multimalla (multigrid methods) para acelerar la convergencia
Modélos Matemáticos en Visión por Ordenador
Abordar los problemas actuales que se presentan en visión por ordenador requiere de una sólida formación matemática.
Dicha formación matemática tiene un caracter multidisciplinar : Algebra, Análisis, Geometría, Ecuaciones diferenciales, Análisis Numérico, Optimización, Modelos Estadísticos, Análisis Discriminante, Arboles de Decisión, etc..
El area científica de la Visión por Ordenador no para de crecer estimulada por los problemas y aplicaciones que van surgiendo constantemente con el desarrollo de nuevas tecnologías.
Para hacerse una idea del volumen de actividades puede visitarse el sitio web http://lists.diku.dk/mailman/listinfo/imageworld que utilizan muchos laboratorios para anunciar cursos, congresos, ofertas de trabajo,etc..